Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點（2，1），平行于直線在軸上的截距為，設直線交橢圓于兩個不同點、，

（1）求橢圓方程；
（2）求證：對任意的的允許值，的內心在定直線。

Answer 1

（1）（2）直線為，由得
，設直線、的斜率分別為、， 所以，的角平分線垂直軸，因此，內心的橫坐標等于點的橫坐標，則對任意的，的內心在定直線

試題分析：（1）設橢圓方程為
則   所以橢圓方程為           …… 5分
（2）如圖，因為直線平行于，且在軸上的截距為，又，所以，直線的方程為， 由，
設，則，…………8分
設直線、的斜率分別為、，則，
故=
=
     ……………12分
故=0， 所以，的角平分線垂直軸，因此，內心的橫坐標等于點的橫坐標，則對任意的，的內心在定直線 ……14
點評：直線與橢圓相交，利用韋達定理設而不求是常用的思路，本題要證內心在定直線上轉化為兩邊關于該直線對稱，進而與斜率聯系起來