Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）在區間[0，1]上有最大值1和最小值﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=ax2﹣4ax+b（a＞0）=a（x﹣2）2+b﹣4a，

∵a＞0，開口向上，對稱軸x=2，

∴f（x）在[0，1]遞減，

∴f（0）=b=1，f（1）=b﹣3a=﹣2，

∴a=b=1；

（2）解：∵f（x）=x2﹣4x+1≥mx在x∈（0，+∞）上恒成立，

∴ 在x∈（0，+∞）上恒成立，

∵雙勾函數y=x+ 在（0，1]遞減，在[1，+∞）遞增，

∴當x=1時，x﹣4+ 取得最小值，且為2﹣4=﹣2，

則m≤﹣2．

【解析】（1）求得f（x）的對稱軸方程，可得f（x）在[0，1]遞減，即可得到最值，解方程可得a，b的值；（2）由題意可得 在x∈（0，+∞）上恒成立，運用對號函數的單調性，可得右邊函數的最小值，即可得到m的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)，還要掌握二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)的相關知識才是答題的關鍵．