Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PB⊥面ABCD，BA=BD= ，AD=2，E，F分別是棱AD，PC的中點．

（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）若二面角P﹣AD﹣B為60°，求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB的中點M，連接MF，AM．

又∵F為PC的中點，∴FM∥BC，FM= BC，（中位線定理），

∵E為AD的中點，ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BC，AE= BC，

∴FM∥AE，FM=AE，

∴四邊形AEFM為平行四邊形

∴EF∥AM，

∵MA平面PAB，EF平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）解：∵BA=BD，PA=PD 且 E為AD的中點，

∴BE⊥AD，PE⊥AD，

∴∠PEB為二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠PEB=60°，

∵在Rt△ABD，BA=BD= ，AD=2，

∴BE=1，

∵∠PEB=60°，∴Rt△PBE中，PB= ，

∵BE⊥AD，AD∥BC，∴BE⊥BC，

∵PB⊥面ABCD，∴PB⊥BE，

由BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，

∴∠EFB為直線EF與平面PBC所成角，

∵在Rt△ABM中，AM= ∴ ，

∴在Rt△EBF中，sin∠EFB= = = ，

∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為

【解析】（1）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質定理證明．（2）根據二面角平面角的定義先找出平面角，結合直線和平面所成角的定義作出線面角，根據三角形的邊角關系進行求解即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．