Question

【題目】設函數 .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數的底數）.

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式在（0，+）上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間是;（2）

【解析】試題分析：（1）由函數的解析式得其定義域為.. 因為曲線在點處的切線方程為，所以,,聯立可得解方程組可得. 所以， .分別解不等式與，可得單調遞減與遞增區間。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，構造函數，因為，所以對任意，不等式恒成立.考慮函數的單調性。因為。當時，對任意恒成立，此時函數單調遞增.于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；當函數為減函數時， ，即恒成立時，函數單調遞減，構造函數， 大于函數的最大值，求導數判斷單調性，對任意，所以，即，符合題意；當時，構造函數，二次求導，令得 ，因為，所以。所以當時， ，此時單調遞增，所以 ，故當時，函數單調遞增.于是當時， 成立，不符合題意；綜合上面三種情況可得所求。

試題解析：解：（1）函數的定義域為.

.

依題意得， ，即

所以.

所以， .

當時， ；當時， .

所以函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.

（2）設函數，故對任意，不等式恒成立.

又，當，即恒成立時，

函數單調遞減，設，則，

所以，即，符合題意；

當時， 恒成立，此時函數單調遞增.

于是，不等式對任意恒成立，不符合題意；

當時，設，

則 ；

當時， ，此時單調遞增，

所以 ，

故當時，函數單調遞增.

于是當時， 成立，不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為： .