Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣alnx+ （a∈R） （Ⅰ）求函數f（x）單調區間；
（Ⅱ）若a=﹣1，求證：當x＞1時，f（x）＜ x3 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為x＞0 若a≤0時，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的單調區間為（0，+∞）
若a＞0時，令f'（x）＞0，得
即f（x）的單調區間為 ，減區間為
（Ⅱ）證明：設
則
∴F（x）在（1，+∞）上為增函數，且
即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
∴當x＞1，
【解析】（Ⅰ）求導數，分類討論，利用導數的正負求函數f（x）單調區間；（Ⅱ）設 ，證明F（x）在（1，+∞）上為增函數，即可得出結論．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．