Question

【題目】設．

（1）求證：在區間上沒有零點；

（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）利用導數可求得在上是增函數，可得，由此得到結論；

（2）解法一：利用放縮的方式可知，則只需即可；利用導數可證得，由時，可確定此時滿足題意；由時，存在實數，使得任意，均有，可知存在，不滿足題意；

解法二：構造函數，求導后，分別在和兩種情況下根據導函數的符號確定函數單調性，由此可確定符合題意.

（1），則，

設，則，

當時，，即為增函數，，在上是增函數，，

在區間上沒有零點；

（2）解法一：由（1）知：當時，，，

，

設，則，

設，則，當時，，

在上為增函數，，即，

在上為增函數，，即，

所以對任意的恒成立．

又，時，，

所以當時，對任意的恒成立；

當時，設，則，

，所以存在實數，使得任意，均有，

所以在上為減函數，

當時，，即，時不符合題意；

綜上所述：實數的取值范圍為．

解法二：等價于

設，則，

設，則

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

當時，，當時，，

，

所以當時，恒成立，在上是增函數，

所以，即，即

所以當時，對任意恒成立．

當時，，存在，當時，，

在上是減函數，當時，，

即，不符合題意，故不滿足題意，

綜上所述，的取值范圍是．