Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設為曲線上的點，，垂足為，若的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）消去參數可得直線的普通方程，利用互化公式即可得曲線的直角坐標方程.

（Ⅱ）利用曲線的參數方程設點，根據點到直線距離公式求出，再根據三角函數性質求出最小值，利用已知列方程可解得．

（Ⅰ）因為曲線的極坐標方程為，即，

將，代入上式并化簡得，

所以曲線的直角坐標方程為，

消去參數可得直線的普通方程為．

（Ⅱ）設，由點到直線的距離公式得

，

由題意知，

當時，，得，

當時，|，得；

所以或．