Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=4S₂，a₄=2a₂+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，設T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）求出數(shù)列的首項和公差，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d．
由S₄=4S₂，a₄=2a₂+1得

4a1+6d=8a1+4d a1+3d=2a1+2d+1

，
解得a₁=1，d=2．
因此a_n=2n-1，n∈N^*．
（2）由已知

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，
由（1）知a_n=2n-1，n∈N^*，
所以b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+••+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
所以T_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的計算，以及利用錯位相減法進行求和．