Question

【題目】已知橢圓的標準方程為，離心率，且橢圓經過點．過右焦點的直線交橢圓于， 兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）若，求直線的方程．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得以， 為鄰邊的四邊形是菱形，且點在橢圓上．若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（）．（）或．（）存在,點.

【解析】試題分析：（1）由題意求出橢圓方程；（2）聯立方程組得到韋達定理，由弦長公式求得，得到直線方程；（3）由特殊位置直線垂直軸時，易知存在點滿足四邊形是菱形。

試題解析：

（）由題意可得，解得， ，

∴橢圓的方程為．

（）設直線的方程為， ， ，則

，消去得，

， ．

∵，

∴，

化簡得即，

解得．

故直線的方程為或．

（3）存在點滿足要求。

當直線垂直軸時，則時，即， 在右頂點時，則四邊形是菱形，所以存在滿足要求的點。