Question

【題目】已知，其中常數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）若函數有兩個零點，求證： ；

（3）求證： .

選做題：

Answer 1

【答案】(1) 有極小值，沒有極大值.(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：先寫出函數的定義域，（1）由，求出的導數，再求出的單調性，即可求得極值；（2）先證明：當恒成立時，有成立，若，則顯然成立；若，運用參數分離，構造新函數通過求導數及單調性，結合函數零點存在定理，即可得證；（3）討論當當時， 恒成立，可設設，求出導數，單調區間及最大值，運用不等式的性質，即可得證.

試題解析：函數的定義域為，

（1）當時， ， ，

而在上單調遞增，又，

當時， ，則在上單調遞減；

當時， ，則在上單調遞增，所以有極小值，沒有極大值.

（2）先證明：當恒成立時，有成立.

若，則顯然成立；

若，由得，令，

則，

令，由得在上單調遞增，

又∵，所以在上為負，在上為正，

∴在上遞減，在上遞增

∴，從而.

因而函數若有兩個零點，則，所以，

由得，則

，

∴在上單調遞增，

∴，

∴在上單調遞增

∴，則

∴

由得，則

∴，

綜上得.

（3）由（2）知當時， 恒成立，所以，

即，

設，則，

當時， ，所以在上單調遞增；

當時， ，所以在上單調遞減；

所以的最大值為，即，

因而，

所以，即

點睛:導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系；（2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性求參數；（3）利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題；（4）考查數形結合思想的應用．