Question

【題目】（多選題）下列說法正確的是（ ）

A.橢圓1上任意一點（非左右頂點）與左右頂點連線的斜率乘積為

B.過雙曲線1焦點的弦中最短弦長為

C.拋物線y2＝2px上兩點A（x1，y1）．B（x2，y2），則弦AB經過拋物線焦點的充要條件為x1x2

D.若直線與圓錐曲線有一個公共點，則該直線和圓錐曲線相切

Answer 1

【答案】A

【解析】

直線與圓錐曲線的位置關系問題，通過聯立方程組，恰當利用韋達定理，逐項判定，即可求解，得到答案.

對于A中，橢圓的左右頂點的分別為，

設橢圓上除左右頂點以外的任意一點，則，

又因為點在橢圓上，可得，解得，

所以，所以A項是正確的；

對于B中，設雙曲線右焦點，

（1）當直線與雙曲線的右支交于，

（i）當直線的斜率不存在時，則直線方程為，則，

（ii）當直線的斜率存在時，則直線方程為，

聯立方程組，得，

則，得或，

由焦半徑公式可得

，

所以當直線的斜率不存在時，的長最小，最小值為．

（2）當過的直線與雙曲線的兩支各有一個交點時，此時可得的最小值為．

綜上可得，當，即，此時過焦點的弦長最短為；

當，即，此時過焦點的弦長最短為．

所以B項是不正確的；

對于C中，充分性：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，

因為，所以，此時直線過焦點.

當直線的斜率存在時，設直線方程為，

由，得，

所以，且，

又因為且，所以，解得或，

所以直線方程為或,

當直線時，取時，，直線過焦點；

當直線時，取時，，直線過焦點；

所以充分性不成立．

必要性：當直線過焦點時，

設過焦點的直線的方程為，代入，

可得，則，

則.

所以拋物線上兩點，則弦經過拋物線的焦點的必要不充分條件是，所以C是不正確的.

對于D中，當直線和拋物線的對稱軸平行時，滿足只有一個交點，但此時直線拋物線是相交的，所以直線與圓錐曲線有一個公共點，所以該直線和圓錐曲線相切是錯誤，即D項是不正確的.

故選：A.