Question

【題目】設不等式表示的平面區別為．區域內的動點到直線和直線的距離之積為2．記點的軌跡為曲線．過點的直線與曲線交于、兩點．

（1）求曲線的方程；

（2）若垂直于軸，為曲線上一點，求的取值范圍；

（3）若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據“區域內的動點到直線和直線的距離之積為”列方程，化簡后求得曲線的方程.

（2）求得兩點的坐標，利用平面向量數量積的坐標運算化簡，由此求得的取值范圍.

（3）設出直線的方程，聯立直線的方程和曲線，寫出韋達定理.求得以為直徑的圓的圓心和直徑，根據圓與軸相切列方程，解方程求得直線的斜率.

（1）設，依題意①，因為滿足不等式，所以①可化為.

（2）將代入曲線的方程，解得.取，設，因為為曲線上一點，故.則.即的取值范圍是.

（3）設直線的方程是，.聯立，消去得，所以.

設線段的中點為，則，所以..因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以，即，化簡得.所以直線的斜率為.