Question

【題目】如圖，在直角梯形中，，點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AD將平面PAD折起，設(shè).

(1)當(dāng)為直角時(shí)，求異面直線PC與BD所成角的大小；

(2)當(dāng)為多少時(shí)，三棱錐的體積為?

(3)剪去梯形中的，留下長方形紙片，在BC邊上任取一點(diǎn)E，把紙片沿AE折成直二面角,問E點(diǎn)取何處時(shí)，使折起后兩個(gè)端點(diǎn)間的距離最短.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）當(dāng)時(shí)，沿AE折起后間距離最短

【解析】

（1）取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)OE，BE，則∠BOP為PC，BD所成的角，先證 PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出的三邊長，使用余弦定理求出，進(jìn)而可得角；（2）P到平面ABCD的距離為，代入棱錐的體積公式求出得出θ的值；（3）設(shè)，則，根據(jù)定理可得化簡，故而當(dāng)時(shí)，間的距離最短，故而可得結(jié)論.

（1）∵AB∥CD，，，∴四邊形ABCD是矩形，

連結(jié)AC交BD與O，則O是AC，BD的中點(diǎn)，

取PA的中點(diǎn)E，連結(jié)OE，BE，

則OE是的中位線，∴，，

∴是異面直線PC，BD所成的角，

∵，，，

∴平面ABCD，

∴，，

，

∴，

∴．

即異面直線PC與BD所成的角為．

（2）P到平面ABCD的距離，

，

∴，

∴，

∴或.

（3）設(shè)，則，折起后平面平面AECD，

則為直線與平面AECD所成的角.

于是，

要使最短，則折起后應(yīng)最小，最大，

∴當(dāng)即時(shí)，最大，

此時(shí)最短，

即當(dāng)時(shí)，沿AE折起后間距離最短.