Question

（2012•虹口區二模）已知f(x)=

m

•

n

，其中

m

=

2cosx，1

，

n

=

cosx， 3 sin2x

（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若f（A）=2，b=1，△ABC面積為

3 3

2

，求：邊a的長及△ABC的外接圓半徑R．

Answer 1

分析：先利用向量數量積的運算性質求得函數f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）型函數，
（1）利用函數周期計算公式可得其最小正周期，將內層函數置于外層函數的單調增區間上，解不等式即可得函數的單調遞增區間；
（2）先由f（A）=2，結合角A的取值范圍計算角A的值，再利用三角形面積公式和已知的面積，計算邊長c的值，進而利用余弦定理求邊長a的值，最后利用正弦定理求三角形的外接圓半徑

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=1+cos2x+

3

sin2x=1+2（

1

2

cos2x+

1

2

3

sin2x）=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

  （k∈Z）
∴函數f（x）的單調遞增區間[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵f(A)=2sin(2A+

π

6

)+1=2，∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵

π

6

＜2A+

π

6

＜π，∴2A+

π

6

=

5π

6

∴A=

π

3

∵△ABC面積為S=

1

2

bcsinA=

1

2

×1×c×sin

π

3

=

3 3

2

，
∴c=6
∴a=

12+62-2×1×6× 1 2

=

31

∴2R=

a

sinA

=

31

sin π 3

，
∴R=

93

3

點評：本題主要考查了向量數量積運算性質，三角變換公式的運用，三角形面積公式、余弦定理、正弦定理的運用，屬中檔題