Question

由-1，0，1，2，3這五個數中選三個不同的數組成二次函數y=a²x+bx+c的系數．
（1）開口向下的拋物線有幾條？
（2）開口向上且不過原點的拋物線有多少條？
（3）與x軸的正、負半軸各有一個交點的拋物線有多少條？

Answer 1

考點：排列、組合的實際應用

專題：應用題,排列組合

分析：（1）開口向下a＜0，a只能取-1，b、c有A₄²種選法；
（2）開口向上且不過原點，則a＞0且c≠0；
（3）與x軸的正、負半軸各有一個交點，則ac＜0，分類討論，即可得出結論．

解答： 解：（1）a＜0，a只能取-1，b、c有A₄²種選法，共有A₄²=12（條）；（4分）
（2）a＞0且c≠0，共有C₃¹C₃¹C₃¹=27（條）；（8分）
（3）ac＜0，當a＞0，c＜0時，a、b、c分別有C₃¹、C₃¹、C₁¹種選法；
當a＜0，c＞0時，a、b、c有C₁¹、C₃¹、C₃¹種選法，
共有C₃¹C₃¹C₁¹+C₃¹C₃¹C₁¹=18（條）．（13分）

點評：本題考查排列組合問題，考查拋物線的性質，是一個排列組合與圓錐曲線結合的問題，解題時注意圓錐曲線的標準方程和簡單性質的應用．