Question

在直角坐標xoy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，如圖，曲線C與x軸交于O，B兩點，P是曲線C在x軸上方圖象上任意一點，連結OP并延長至M，使PM=PB，當P變化時，求動點M的軌跡的長度．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,軌跡方程

專題：坐標系和參數方程

分析：設出點M的極坐標（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的極坐標方程，再化為普通方程，求出點M的軌跡長度即可．

解答： 解：設M（ρ，θ），θ∈（0，

π

2

），則OP=2cosθ，PB=2sinθ；
∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ；
化為普通方程是x²+y²=2x+2y，
∴M的軌跡方程是（x-1）²+（y-1）²=2（x＞0，y＞0）；
∴點M的軌跡長度是l=

1

2

×2π×

2

=

2

π．

點評：本題考查了極坐標的應用問題，解題時應根據題意，列出極坐標方程，再化為普通方程，從而求出解答來，是基礎題．