Question

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N*．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n
（2）設b_n=log₃a_n+1，T_n是數列{

1

bn•bn+1

}的前n項和，求T₂₀₁₄的值．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等比數列的定義即可證明數列{a_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n
（2）求出數列{

1

bn•bn+1

}的通項公式，利用裂項法即可得到結論．

解答： 解：（1）由題意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2），
兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，
即a_n+1=3a_n，
∵a₁=1，∴a₂=2S₁+1=3，則

a2

a1

=3，
當n≥1時{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列．
∴an=1•3n-1=3n-1．
（2）由（1）得知an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=n，

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，
T2014=

1

b1b2

+…+

1

b2014b2015

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2014

-

1

2015

)=

2014

2015

．

點評：本題主要考查等比數列的判斷以及數列求和，要求熟練掌握裂項法求和，考查學生的運算能力．