Question

【題目】在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF將梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如圖．

(1)若G為FB的中點，求證：AG⊥平面BCEF；

(2)求二面角C－AB－F的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據平面幾何知識在空間幾何體中可證得AG⊥FB，同時可得EF⊥平面ABF，進而得AG⊥EF，于是可得AG⊥平面BCEF．（2）根據二面角平面角的定義并結合三垂線法作出二面角的平面角，再通過解三角形得到所求的正切值．

(1)因為AF＝BF，∠AFB＝60°，

所以△AFB為等邊三角形．

又G為FB的中點，

所以AG⊥FB.

在等腰梯形ABCD中，E、F分別是CD、AB的中點，

所以EF⊥AB.

于是EF⊥AF，EF⊥BF，

又,

所以EF⊥平面ABF，

因為平面ABF，

所以AG⊥EF.

又，

所以AG⊥平面BCEF.

(2)如圖，連接CG，

因為在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，E、F分別是CD、AB中點，G為FB的中點，

所以EC＝FG＝BG＝1，

從而CG∥EF.

因為EF⊥平面ABF，

所以CG⊥平面ABF.

過點G作GH⊥AB于H，連結CH，

由三垂線定理可得CH⊥AB，

所以∠CHG為二面角C－AB－F的平面角.

在Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，

所以GH＝.

在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，

所以CG＝1.

在Rt△CGH中，可得tan∠CHG，

所以二面角C－AB－F的正切值為.