Question

【題目】已知函數.

(Ⅰ)若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；

(Ⅱ)若，證明： ，總有.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，若函數存在單調遞減區間,則導函數存在小于0的取值區間，不等式變形后，問題轉化為存在取值區間，求出a的范圍即可；

（Ⅱ）問題轉化為證對x∈恒成立，構造輔助函數g（x）=e2x+1-（2x+2），x∈[1，]，求導，利用函數單調性證明；構造輔助函數h(x)＝，求導，根據函數單調性證明；并且g（x）和h（x）不能同時取等號，即可證明不等式，恒成立.故原不等式恒成立.

(Ⅰ)由題意得，

若函數存在單調減區間，則。

即存在取值區間，即存在取值區間，

所以.

(Ⅱ)當時，

由有，從而，

要證原不等式成立，只要證對恒成立

即證明對恒成立

首先令，由，可知，

當時單調遞增，當時單調遞減，

所以，有

構造函數，，

因為，

可見，在時，，即在上是減函數，

在時，，即在上是增函數，

所以,在上，，所以.

所以，，等號成立當且僅當時，

綜上：，由于取等條件不同，

故，所以原不等式成立.