Question

【題目】已知點A（﹣2，0），B（0，1）在橢圓C： （a＞b＞0）上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）P是線段AB上的點，直線y= x+m（m≥0）交橢圓C于M、N兩點，若△MNP是斜邊長為 的直角三角形，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C： （a＞b＞0）焦點在x軸上，由點A（﹣2，0），B（0，1），
則a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程： ；
（Ⅱ）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則 ，消去y，整理得 x2+mx﹣1=0，
則△=2﹣m2＞0，x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，
則丨MN丨= 丨x1﹣x2丨= ，
① 當MN為斜邊時， = ，解得：m=0，
滿足△＞0，
此時直線MN為直徑的圓方程為x2+y2= ，
點A（﹣2，0）B（0，1）分別在圓外和圓內，即在線段AB上存在點P．
此時直線MN的方程誒y= x，滿足題意，
②當MN為直角邊時，兩平行線AB與MN的距離d= 丨m﹣1丨，
∴d2+丨MN丨2= 丨m﹣1丨2+（10﹣5m2）=10，
即21m2+8m﹣4=0，
解得：m= ，m=﹣ （舍），
由△＞0，則m= ，
過點A作直線MN：y= x+ 的垂線，可得滿足坐標為（﹣ ，﹣ ），垂足在橢圓外，
即在線段AB上存在點P，
∴直線MN的方程為y= x+ ，符合題意，
綜上可知：直線MN的方程為：y= x或y= x+ ．
【解析】（Ⅰ）由直線可知：橢圓的焦點在x軸上，又過點A，B，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得丨MN丨，分類，當MN為斜邊時， = ，即可求得m=0，滿足題意，當MN為直角邊時，兩平行線AB與MN的距離d= 丨m﹣1丨，利用勾股定理即可求得m的值，求得直線方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．