Question

【題目】已知函數f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a≤0）．
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）當a＜0時，討論f（x）的單調性；
（3）若對任意的a∈（﹣3，﹣2），x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），

當a=0時，f（x）=2lnx+ ，f′（x）= ﹣ = ，

令f′（x）=0，解得x= ，

當0＜x＜ 時，f′（x）＜0；

當x≥ 時，f′（x）＞0

又∵f（ ）=2ln =2﹣2ln2

∴f（x）的極小值為2﹣2ln2，無極大值．

（2）解：f′（x）= ﹣ +2a= ，

當a＜﹣2時，﹣ ＜ ，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣ 或x＞ ，

令f′（x）＞0 得﹣ ＜x＜ ；

當﹣2＜a＜0時，得﹣ ＞ ，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜ 或x＞﹣ ，

令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；

當a=﹣2時，f′（x）=﹣ ≤0，

綜上所述，當a＜﹣2時f（x），的遞減區間為（0，﹣ ）和（ ，+∞），遞增區間為（﹣ ， ）；

當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；

當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區間為（0， ）和（﹣ ，+∞），遞增區間為（ ，﹣ ）．

（3）解：由（2）可知，當a∈（﹣3，﹣2）時，f（x）在區間[1，3]上單調遞減，

當x=1時，f（x）取最大值；

當x=3時，f（x）取最小值；

|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3+ +6a]= ﹣4a+（a﹣2）ln3，

∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，

∴（m+ln3）a﹣2ln3＞ ﹣4a+（a﹣2）ln3

整理得ma＞ ﹣4a，

∵a＜0，∴m＜ ﹣4恒成立，

∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣ ＜ ﹣4＜﹣ ，

∴m≤﹣ ．

【解析】（1）當a=0時，f（x）=2lnx+ ，求導，令f′（x）=0，解方程，分析導數的變化情況，確定函數的極值；（2）當a＜0時，求導，對導數因式分解，比較兩根的大小，確定函數f（x）單調區間；（3）若對任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函數f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．