Question

【題目】已知平面上的三點P(5,2)、F1(－6,0)、F2(6,0)．

(1)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標準方程；

(2)設點P、F1、F2關于直線y＝x的對稱點分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點且過點P′的雙曲線的標準方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（Ⅰ）根據題意設出所求的橢圓的標準方程，然后代入半焦距，求出a，b．最后寫出橢圓標準方程．

（Ⅱ）根據三個已知點的坐標，求出關于直線y=x的對稱點分別為點，設出所求雙曲線標準方程，代入求解即可．

解：（1）由題意焦點在x軸上，可設所求橢圓的標準方程為

（a＞b＞0），

其半焦距c=6，

∴，b2=a2﹣c2=9．

所以所求橢圓的標準方程為

（2）點P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）

關于直線y=x的對稱點分別為點P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．

設所求雙曲線的標準方程為

由題意知，半焦距

c1=6，

，

b12=c12﹣a12=36﹣20=16．

所以所求雙曲線的標準方程為．