Question

下列函數在定義域上既是奇函數，又是單調遞增函數的是（　　）

• A、y=x|x|
• B、y=e^x+e^-x
• C、y=

  x-1，  x≥0 0，  x=0 x+1，  x＜0

• D、y=x

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  2

Answer 1

考點：冪函數的單調性、奇偶性及其應用,函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：A．運用函數的奇偶性定義和單調性，注意去絕對值，即可判斷A；
B．由奇偶性定義判斷為偶函數，故B不正確；
C．由奇偶性定義判斷為奇函數，但不為增函數，可舉反例；
D．由定義域不關于原點對稱，即可判斷函數不具有奇偶性．

解答： 解：A．f（x）=x|x|的定義域為R，f（-x）=-x|-x|=-f（x）∴函數在定義域上是奇函數，
當x≥0時，y=x²為增函數，當x＜0時，y=-x²為增函數，且函數為連續函數，∴此函數為單調遞增函數．
故A正確；
B．f（x）=e^x+e^-x的定義域為R，f（-x）=e^-x+e^x即f（x）=f（-x），∴此函數是偶函數不是奇函數，故B錯誤；
C．當x=0時，f（0）=0，f（-x）=-f（x），∵x＞0，f（x）=x-1；x＜0時，f（x）=x+1．若x＜0則-x＞0，f（-x）=-x-1=-f（x），
若x＞0則-x＜0，f（-x）=-x+1=-f（x），故對x∈R，f（-x）=-f（x），即f（x）奇函數，可舉x₁=-1，x₂=

1

2

，f（x₁）=0，f（x₂）=-

1

2

，即x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），故C項錯誤；
D．y=x

5

2

=

2	x5

的定義域為{x|x≥0}不關于原點對稱，∴此函數沒有奇偶性，故D項錯誤．
故選A．

點評：本題主要考查函數的性質：奇偶性、單調性，注意函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件，函數的單調性的判斷，必須注意定義中的任意自變量．