Question

【題目】已知函數為自然對數的底數）．

（1）求函數的值域；

（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先對函數求導，判斷出函數單調性，進而可得出值域；

（2）先由題意，將問題轉化為對任意恒成立，構造函數，對函數求導，用導數方法判斷其單調性，求其最小值，即可得出結果.

（3）令，對函數求導，用導數方法研究其單調性，求其最小值，只需最小值大于0即可.

（1）因為，

所以，

∵，∴，

∴，所以，

故函數在上單調遞減，函數的最大值為；

的最小值為，

所以函數的值域為．

（2）原不等式可化為 …（*），

因為恒成立，故（*）式可化為．

令，則，

當時，，所以函數在上單調遞增，故，所以；

當時，令，得，

所以當時，；當時，．

所以當，即時，函數成立；

當，即時，函數在上單調遞減，，解得

綜上，．

（3）令，則．

由，故存在，使得，

即 ．

所以，當時，；當時，．

故當時，函數有極小值，且是唯一的極小值，

故函數

，

因為，所以，

故，

即．