Question

【題目】已知橢圓：的兩個焦點分別是，直線：與橢圓交于兩點.

（1）若為橢圓短軸上的一個頂點，且是直角三角形，求的值；

（2）若，且，求證：的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據為等腰直角三角形可知；分別討論焦點在軸和軸上的兩種情況，構造方程求得；

（2）根據可知，將直線方程與橢圓方程聯立，得到韋達定理的形式，代入可整理得到的關系；利用弦長公式和點到直線距離公式可表示出的面積，化簡整理可得定值.

（1）為橢圓短軸上的一個頂點，且是直角三角形，

為等腰直角三角形，，

當時，，解得：；

當時，，解得：；

或.

（2）證明：當時，橢圓方程為：，

設，，，即，

由整理得：，

，即，

，，

，，滿足，

.

到直線的距離為，

，

的面積為定值.