Question

【題目】已知橢圓與拋物線有共同的焦點，且兩曲線的公共點到的距離是它到直線 （點在此直線右側）的距離的一半.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為坐標原點，直線過點且與橢圓交于兩點，以為鄰邊作平行四邊形.是否存在直線，使點落在橢圓或拋物線上？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在直線，使點落在拋物線上，存在直線，使點落在橢圓上，理由見解析.

【解析】

(1)由題意，則.設點是兩曲線在第二象限內的交點，求出點的坐標，代入橢圓方程得關于的方程，求得的值，即求橢圓方程；

（2）當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系，結合為平行四邊形，即，可得的坐標，分別代入橢圓與拋物線方程，得到關于的方程，均無解；當直線斜率不存在時，易知存在點在橢圓上，即得答案.

（1）由題意知，因而，即，

又兩曲線在第二象限內的交點到的距離是它到直線的距離的一半，

即，

得，則，

代入到橢圓方程，得.

由，

解得，

所求橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為

由，

得，

設，

則，

由于為平行四邊形，得，

故，又，

可得.

若點在橢圓上，則，代入得，無解.

若點在拋物線上，則，代入得，無解.

當直線斜率不存在時，，此時存在點在橢圓上.

故不存在直線，使點落在拋物線上，存在直線，使點落在橢圓上.