Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，

（1）求證：；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成的角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）利用直角梯形的性質求出，的長，根據勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；

（2）假設存在點，做出二面角的平面角，根據勾股定理求出到平面的距離從而確定的位置，利用棱錐的體積求出到平面的距離，根據勾股定理計算，則即為所求角的正弦值．

解：（1）如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面ABCD，則，

所以平面PAC，

所以．

（2）假設存在符合條件的點，過點作于，則，

平面，．

過點作于，連接，則平面，

，即是二面角的平面角．

若，則，又，

，即是線段的中點．

存在點使得二面角的大小為．

在三棱錐中，，

設點到平面的距離是，則，

，，

，解得．

在中，，，，，

，

與平面所成角的正弦值為．