Question

【題目】已知動直線垂直于軸，與橢圓交于兩點，點在直線上，.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線與橢圓相交于，與曲線相切于點，為坐標原點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）設出兩點的坐標，根據對稱性得到點坐標，利用平面向量數量積的坐標運算化簡，求得兩點坐標的關系，將點坐標代入橢圓方程，化簡求得點的軌跡方程.

（2）當直線斜率不存在時，根據橢圓的幾何性質求得.當直線的斜率存在時，設出直線的方程，代入方程，利用判別式為零列出關系.將代入方程，化簡后寫出韋達定理，計算出的表達式，并利用換元法和二次函數的性質，求得的取值范圍.

（1）設，則由題知，，

,，

由在橢圓上，得，所以，

故點的軌跡的方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，為的左（或右）頂點，也是的左（或右）焦點，所以；

當直線的斜率存在時，設其方程為,

，，

，所以，

，

令，，，

所以，當時，即時，取最大值，當時，即時，取最小值；綜上：的取值范圍為.