Question

【題目】如圖所示，已知直二面角α﹣AB﹣β，P∈α，Q∈β，PQ與平面α，β所成的角都為30°，PQ=4，PC⊥AB，C為垂足，QD⊥AB，D為垂足，求：
（1）直線PQ與CD所成角的大小
（2）四面體PCDQ的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：直二面角α﹣AB﹣β，P∈α，Q∈β，PQ與平面α，β所成的角都為30°，PQ=4，PC⊥AB，C為垂足，QD⊥AB，D為垂足，設直線AB與CD所成的角為θ，則由PC⊥AB，cos∠DCQ= = = ，

可知PC⊥β知：cosθ=cos∠PQCcos∠DCQ=cos30° = ，

故θ=45°

（2）解：由題意可知三棱錐的高為PC=2，底面CQD的面積為： CDDQ= =2 ，

三棱錐的體積為： =

【解析】（1）直接根據PC⊥β以及常用的結論：cosθ=cos∠PQCcos∠DCQ即可求出結果；（2）求出幾何體的高與底面面積，即可求解幾何體的體積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解異面直線及其所成的角(異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系)．