Question

【題目】四棱錐中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四邊形ABCD內部一點，且二面角的平面角大小為，若動點Q的軌跡將ABCD分成面積為的兩部分，則=_______．

Answer 1

【答案】

【解析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖：設Q的軌跡與y軸的交點坐標為Q（0，b，0）（b＞0）．

由題意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），

∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）. =（2，0，0）．

設平面APD的法向量為=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量為=（x2，y2，z2）

則

即，

令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．

∴．

∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小為，

∴cos＜＞=即解得b=．

∴S△ADQ=．

S梯形ABCD﹣S△ADQ=．

∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．

故答案為（3﹣4）：4．