Question

【題目】已知函數（）.

（Ⅰ）討論函數的單調性.

（Ⅱ）設，若，都有 成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ） ………………1分

當時：令得或 ………………2分

（1）當時，，此時令，得或；令，得

（2）當時，，

（3）當時，，此時令，得或；令，得 ………5分

當時：令，得；令，得 ………………5分

綜上，當時，的單調遞增區間，的單調遞減區間；當時，的單調遞增區間，，的單調遞減區間；當時，在上為增函數；當時，的單調遞增區間，，的單調遞減區間. 6分

(Ⅱ)由題意得………………7分

設，則................8分

在時，成立，則在上單調遞增，則

所以，則在上，單調遞增，所以，即...............10分

命題“若，都有 成立”等價于命題“若， 成立”，

所以所求命題變為“若， 恒成立”，即

化簡分離參數得對恒成立，...............12分

令，只需即可,

，函數在內有唯一極小值為，則

所以 . ………………14分

【命題意圖】本題主要考查導數與函數的最值、導數與函數的單調性、不等式恒成立以及函數的定義域等，考查分離參數法、函數與方程的思想、分類討論思想以及基本的運算能力和邏輯推理能力等，是較難題.