Question

【題目】設G為△ABC的重心，過G作直線l分別交線段AB，AC（不與端點重合）于P，Q．若 =λ ， =μ ．

（1）求 的值；
（2）求λμ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AG并延長，交BC于M，則M是BC的中點，設 ， ，

，

∴ ．

∵P，G，Q三點共線，故存在實數t，使 ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：由（1）得μ= ，

∵λ，μ∈（0，1），∴ ，解得 ＜λ＜1．∴1＜ ．

∴λμ= = = ．

∴當 時，λμ取得最小值 ，當 =1或2時，λμ取得最大值 ．

∴λμ的取值范圍是[ ， ）．

【解析】（1）用 ， 表示出 ， ，根據P，Q，G三點共線得出λ，μ的關系；（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的范圍，則λμ可表示為關于λ的函數，求出該函數的最值即可．