【題目】如圖，點
為某沿海城市的高速公路出入口，直線
為海岸線，
，
，
是以
為圓心，半徑為
的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線
，其中
為上異于
的一點，
與
平行，設(shè)
.
（1）證明：觀光專線的總長度隨
的增大而減小；
（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路
的單位成本的2倍.當(dāng)取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由.
【答案】（1）見解析;（2）
.
【解析】試題分析：（1）利用扇形弧長公式求出
，利用直角三角形邊角關(guān)系求出
，則總長為
，求出
為減函數(shù)，命題得證.（2）設(shè)單位成本為
，則總成本為
，
，求出
，
求出，分兩區(qū)間
討論
的單調(diào)性，以證明為極小值點.
試題解析：
（1）由題意，
，所以
，
又
，
所以觀光專線的總長度
，，
因為當(dāng)時，
，
所以
在
上單調(diào)遞減，
即觀光專線
的總長度隨
的增大而減小.
（2）設(shè)翻新道路的單位成本為，
則總成本
，，
，
令，得
，因為，所以，
當(dāng)
時，
，當(dāng)
時，
.
所以，當(dāng)時，最小.
答：當(dāng)時，觀光專線的修建總成本最低.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】把5件不同產(chǎn)品擺成一排．
（1）若產(chǎn)品A必須擺在正中間，排法有多少種？
（2）若產(chǎn)品A必須擺在兩端，產(chǎn)品B不能擺在兩端的排法有多少種？
（3）若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的排法有多少種？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知某條地鐵線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔為t（單位：分鐘），并且
．經(jīng)市場調(diào)研測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)
時，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為450人；當(dāng)
時，載客量會減少，減少的人數(shù)與
的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為258人，記地鐵載客量為
（單位：人）．
（1）求的解析式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量．
（2）若該線路每分鐘的利潤為
（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的利潤最大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，其中
.
（1）求過點
和函數(shù)
的圖像相切的直線方程；
（2）若對任意
，有
恒成立，求
的取值范圍；
（3）若存在唯一的整數(shù)
，使得
，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，
是等邊三角形，底面
是直角梯形，
，
，
是線段
的中點，
底面，已知
.
（1）求二面角
的正弦值；
（2）試在平面
上找一點
，使得
平面.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.已知函數(shù)
的定義域為
，且在任何區(qū)間內(nèi)的平均變化率均比
在同一區(qū)間內(nèi)的平均變化率小，則函數(shù)在上是減函數(shù)；
B.已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，3，3，7，10，11，12，
，18，20，且總體的平均數(shù)為10，則這組數(shù)的75%分位數(shù)為13；
C.方程
的解集為
；
D.一次函數(shù)
一定存在反函數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1）（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（x）在[2，9]上的最大值與最小值之差為3，求a的值；
（2）若a＞1，求不等式f（2x）＞0的解集．
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