Question

【題目】已知某條地鐵線路通車后，地鐵的發車時間間隔為t（單位：分鐘），并且．經市場調研測算，地鐵載客量與發車時間間隔t相關，當時，地鐵為滿載狀態，載客量為450人；當時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發車時間間隔為2分鐘時的載客量為258人，記地鐵載客量為（單位：人）．

（1）求的解析式，并求當發車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量．

（2）若該線路每分鐘的利潤為（單位：元），問當發車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1），載客量為375人，（2）15分鐘

【解析】

(1)根據題設設出的表達式，根據求出的值，即可得出的解析式，求出即可得出發車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量；

(2)由的解析式得出的解析式，利用函數單調性的定義以及反比例函數的性質得出的單調性，比較兩段的最大值，即可得出線路每分鐘的利潤最大時，發車時間間隔.

（1）由題意知（k為常數）．

因為，得，

所以

所以，即當發車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量為375人．

（2）由可得

當時，，

任取，且，

則．

因為，所以，

所以，

所以在上為增函數，最大值為．

當時，，

當時等號成立，所以當發車時間間隔為15分鐘時，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元．