Question

【題目】現代城市大多是棋盤式布局（如北京道路幾乎都是東西和南北走向）.在這樣的城市中，我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離（位移），而是實際路程（如圖）.在直角坐標平面內，我們定義，兩點間的“直角距離”為：.

（1）在平面直角坐標系中，寫出所有滿足到原點的“直角距離”為2的“格點”的坐標.（格點指橫、縱坐標均為整數的點）

（2）求到兩定點、的“直角距離”和為定值的動點軌跡方程，并在直角坐標系內作出該動點的軌跡.（在以下三個條件中任選一個做答）

①，，；

②，，；

③，，.

（3）寫出同時滿足以下兩個條件的“格點”的坐標，并說明理由（格點指橫、縱坐標均為整數的點）.

①到，兩點“直角距離”相等；

②到，兩點“直角距離”和最小.

Answer 1

【答案】（1）、、、、、、、

（2）答案不唯一，見解析

（3）、、、、、、、、，理由見解析

【解析】

（1）由“直角距離”的定義知，進而得到所求點坐標；

（2）根據“直角距離”的定義，分別結合條件①②③，得到動點軌跡方程；利用分類討論的方式去掉絕對值符號即可得到不同區間內動點的軌跡，從而做出圖形；

（3）由條件①可得：；由條件②可得：，在平面直角坐標系中做出兩個條件下的點構成的區域，取交集，結合圖形得到最終結果.

（1）由“直角距離”的定義可知所求點坐標滿足：

則所求點為：、、、、、、、

（2）條件①：動點軌跡方程為：

⑴當，時，；⑵當，時，；

⑶當，時，；⑷當，時，；

⑸當，時，；⑹當，時，

條件②：動點軌跡方程為：

⑴當，時，；⑵當，時，；

⑶當，時，；

由對稱性可得其他部分圖形

條件③：動點軌跡方程為：

⑴當，時，；⑵當，時，；

⑶當，時，

由對稱性可得其他部分圖形

（3）滿足條件的格點有、、、、、、、、

對于①，設滿足到、兩點“直角距離”相等

即滿足，可得：

對于②，設到、兩點“直角距離”和最小

即

當且僅當且時等號成立

可得：

在直角坐標系中畫出分別滿足條件①、②的點構成的區域，如下圖所示：

則同時滿足條件①、②的格點的坐標是：、、、、、、、、