Question

【題目】已知橢圓：（）經過點，且兩個焦點，的坐標依次為和.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設，是橢圓上的兩個動點，為坐標原點，直線的斜率為，直線的斜率為，若，證明：直線與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標準方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）根據題意，由橢圓的定義可得

2a＝計算可得a的值，由橢圓的幾何性質可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程可得答案；

（2）設直線EF的方程為y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2），聯立直線EF與橢圓方程，可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0，分析可得（kx1+b）（kx2+b）=-x1x2，整理得(k2+1)x1x2+bk(x1+x2)+b2＝0，由直線與圓的位置關系分析可得結論．

詳解：

（1）由橢圓定義得，即，

又，所以，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線的方程為，，，

直線的方程與橢圓方程聯立，消去得，

當時，得，，

由已知，即，因為點，在直線上，

所以，整理得，

即，化簡得，

原點到直線的距離，，

所以直線與一個定圓相切，定圓的標準方程為.