Question

【題目】設函數.

（I）當a=1時，證明在是增函數；

（Ⅱ）若當時，，求a取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當a＝1時，求得f′（x）（x＞0）．令g（x）＝ex﹣1﹣x，求出g（x）的導函數，分析g（x）的單調性，求得g（x）有最小值0，從而可得g（x）≥0，即f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）是增函數；

（Ⅱ）設h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），求其導函數，得h′（x）．令p（x）＝ex﹣a（x+1），對a分類分析p（x）的符號，得到h（x）的單調性，從而求得滿足f（x+1）＞0時a的取值范圍．

（Ⅰ）當a＝1時，f′（x）（x＞0）．

令g（x）＝ex﹣1﹣x，g′（x）＝ex﹣1﹣1，

由g′（x）＝0，可得x＝1．

當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

∴當x＝1時，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，

∴f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）是增函數；

（Ⅱ）解：設h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），

h′（x）．

令p（x）＝ex﹣a（x+1），則p′（x）＝ex﹣a．

①當a≤1時，p′（x）＞e0﹣a＝1﹣a≥0，

∴p（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴p（x）＞p（0）＝1﹣a≥0．

∴h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增，

則h（x）＞h（0）＝0，結論成立；

②當a＞1時，由p′（x）＝0，可得x＝lna，

當x∈（0，lna）時，p′（x）＜0，p（x）單調遞減，

又p（0）＝1﹣a＜0，

∴x∈（0，lna）時，p（x）＜0恒成立，

即h′（x）＜0．

∴x∈（0，lna）時，h（x）單調遞減，

此時h（x）＜h（0）＝0，結論不成立．

綜上，a≤1．