Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點O為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．

（1）求證：BABM=BCBN；
（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點，當AC=3時，求AB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接MN，

則∠BMN=90°=∠ACB，

∴△ACB∽△NMB，

∴ ，

∴ABBM=BCBN

（2）解：連接OM，則∠OMC=90°，

∵N為OC中點，

∴MN=ON=OM，

∴∠MON=60°，

∵OM=OB，

∴∠B= ∠MON=30°，

∵∠ACB=90°，

∴AB=2AC=2×3=6．

【解析】（1）連接MN，構造一個直角三角形．即可把證明的線段放到兩個直角三角形中，根據相似三角形的判定和性質進行證明；（2）連接OM，根據切線的性質得到直角△COM，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到MN等于圓的半徑，從而發現等邊三角形OMN，再根據圓周角定理得到∠B=30°，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求得AB的長．
【考點精析】關于本題考查的一般形式的柯西不等式，需要了解一般形式的柯西不等式：才能得出正確答案．