Question

【題目】已知函數．

（1）試討論的單調性；

（2）證明：對于正數，存在正數，使得當時，有；

（3）設（1）中的的最大值為，求得最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明過程如解析；（2）對于正數，存在正數，使得當時，有；（3）的最大值為

【解析】【試題分析】（1）先對函數進行求導，再對導函數的值的符號進行分析，進而做出判斷；（2）先求出函數值 ，進而分和兩種情形進行分析討論，推斷出存在使得，從而證得當時，有成立；（3）借助（2）的結論在上有最小值為，然后分兩種情形探求的解析表達式和最大值。

證明：（1）由于 ，且，

故在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）因為 ，

當時，取．此時，當時，有成立．

當時，由于，

故存在使得．

此時，當時，有成立．

綜上，對于正數，存在正數，使得當時，有．

（3）由（2）知在上的最小值為．

當時， ，則是方程滿足的實根，

即滿足的實根，

所以．

又在上單調遞增，故．

當時， ，由于，

故．此時， ．

綜上所述， 的最大值為．