Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面是菱形，其對角線的交點為，且，.

（1）求證：平面；

（2）設，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

）（1）利用平面可證得，利用三線合一可證得，進而得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用向量的夾角公式即可得解．

解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，

∵，，平面，平面，

∴平面，

平面，

∴，

又∵，是的中點，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面.

（2）∵，

∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.

∵平面，∴直線與平面所成的角即為，

即.

不妨設菱形的邊長為2，則在等邊三角形中，，

在中，，

以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，

設平面的一個法向量為，

則，可得，

而平面的一個法向量為，

則，

∴二面角的余弦值的大小為.