Question

【題目】已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線斜率為1，過橢圓的右焦點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；

（2）若，且為銳角，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求得弦AB的長(zhǎng)；

（2）直線l方程為y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓聯(lián)立，注意到交于不同的兩點(diǎn)A、B，△＞0且∠AOB為銳角，轉(zhuǎn)化為利用韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．

（1）由題意知，右焦點(diǎn)F2（，0），則直線l的方程為y＝x﹣，

聯(lián)立，得5x2﹣x+8＝0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則，

∴|AB|；

（2）若，則l的方程為y＝kx+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯(lián)立

∴，

由△＝（16k）2﹣4（1+4k2）12＞0，16k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①

又∠AOB為銳角，

∴

又y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4

∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4

∴．②

綜①②可知，

∴k的取值范圍是．