Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形且∠DAB=60°，O為AD中點.

（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面POB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，試問在線段PC上是否存在點M，使二面角M-BO-C的大小為30°，如存在，求的值，如不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，

【解析】

（Ⅰ）由題意可知，又為菱形且，所以，根據線面垂直的判定定理可得平面，然后再根據面面平行的判定定理可證平面平面；

（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用二面角的余弦值列方程，由此求得的值.

（Ⅰ）因為，為中點，所以.

因為四邊形為菱形且，所以.因為，所以平面.因為平面，所以平面平面.

（Ⅱ）因為平面平面，且交線為，所以平面.以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系如圖所示.

所以，，設，所以.平面的法向量為.設平面的法向量為，則，令，則可得.

由于二面角的大小為，所以，即，解得.所以存在點使二面角的大小為，且.