Question

【題目】已知函數f（x）=ex+2ax．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在區間[1，+∞）上的最小值為0，求a的值；
（3）若對于任意x≥0，f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a≥0時，函數f'（x）=ex+2a＞0，f（x）在R上單調遞增；

當 a＜0 時，f'（x）=ex+2a，

令 ex+2a=0，得x=ln（﹣2a），

所以，當x∈（﹣∞，ln（﹣2a））時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（ln（﹣2a），+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增

（2）解：由（1）可知，當a≥0時，函數f（x）=ex+2ax＞0，不符合題意．

當a＜0時，f'（x）=ex+2a，

因為，當x∈（﹣∞，ln（﹣2a））時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（ln（﹣2a），+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

①當ln（﹣2a）≤1，即 ≤a＜0時，f（x）最小值為f（1）=2a+e．

解2a+e=0，得a=﹣ ，符合題意．

②當ln（﹣2a）＞1，即a＜﹣ 時，f（x）最小值為f（ln（﹣2a））=﹣2a+2aln（﹣2a）．

解﹣2a+2aln（﹣2a）=0，得a=﹣ ，不符合題意．

綜上，a=﹣

（3）解：構建新函數g（x）=ex﹣e﹣x+2ax，g'（x）=ex+e﹣x+2a，

①當 2a≥﹣2，即 a≥﹣1時，

因為 ex+e﹣x≥2，所以g'（x）≥0（且a=﹣1時，僅當x=0時，g'（x）=0）

所以g（x）在R上單調遞增．

又g（0）=0，所以當a≥﹣1時，對于任意x≥0都有g（x）≥0．

②當a＜﹣1時，解ex+e﹣x+2a＜0，即（ex）2+2aex+1＜0，

得﹣a﹣ ＜ex＜ ，

其中0＜﹣a﹣ ＜1，﹣a+ ＞1

所以ln（﹣a﹣ ）＜x＜ln（﹣a+ ），

且ln（﹣a﹣ ）＜0，ln（﹣a+ ）＞0，

所以g（x）在（0，ln（﹣a+ ））上單調遞減，

又g（0）=0，所以存在x0∈（0，ln（﹣a+ ）），使得g（x0）＜0，不符合題意．

綜上，a的取值范圍為[﹣1，+∞）

【解析】本題屬于導數綜合題，屬難題．（1）對a分類討論，判斷f'（x）是否存在零點．若存在零點，根據f'（x）判斷f（x）的單調性；（2）根據第1題的分類討論情況，判斷f（x）的最小值點；然后根據f（x）min=0，求出a的值；（3）此題屬于導數恒成立問題，通常采購構造新函數來求解．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．