Question

【題目】已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．
（Ⅰ）求證：|a+b+c|≤ ；
（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2對一切實數a，b，c恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），

即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤ ；

（Ⅱ）解：不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2對一切實數a，b，c恒成立，

則由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，

由x≥1得，2x≥3，解得，x≥ ；

由x≤﹣1，﹣2x≥3解得，x≤﹣ ，

由﹣1＜x＜1得，2≥3，不成立．

綜上，可得x≥ 或x≤﹣ ．

則實數x的取值范圍是（﹣ ]∪[ ）

【解析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得證；（Ⅱ）不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a+b+c）2對一切實數a，b，c恒成立，則由（Ⅰ）可知，|x﹣1|+|x+1|≥3，運用絕對值的定義，即可解出不等式．
【考點精析】通過靈活運用絕對值不等式的解法和不等式的證明，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等即可以解答此題．