Question

【題目】已知函數（其中， 為自然對數的底數， …）．

（1）若函數僅有一個極值點，求的取值范圍；

（2）證明：當時，函數有兩個零點， ，且．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：(1)求出函數的導函數，轉化不等式，再通過與的大小討論即可求的取值范圍；（2）通過的范圍及的零點個數，即可確定函數恒成立的條件，通過構造函數的方法，轉化成利用導函數求恒成立問題.

試題解析：（1），

由得到或 （*）

由于僅有一個極值點，

關于的方程（*）必無解，

①當時，（*）無解，符合題意，

②當時，由（*）得，故由得，

由于這兩種情況都有，當時， ，于是為減函數，當時， ，于是為增函數，∴僅為的極值點，綜上可得的取值范圍是；

（2）由（1）當時， 為的極小值點，

又∵對于恒成立，

對于恒成立，

對于恒成立，

∴當時， 有一個零點，當時， 有另一個零點，

即，

且，（#）

所以，

下面再證明，即證，

由得，

由于為減函數，

于是只需證明，

也就是證明，

，

借助（#）代換可得，

令，

則,

∵為的減函數，且，

∴在恒成立，

于是為的減函數，即，

∴，這就證明了，綜上所述， ．