Question

【題目】如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為矩形，M、N分別是EF、BC的中點，AB=2AF=2，∠CBA=60°．

（1）求證：AN⊥DM；
（2）求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值；
（3）求三棱錐D﹣MAN的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，在菱形ABCD中，

∵∠CBA=60°且AB=BC，∴△ABC為等邊三角形．

∵N為BC的中點，∴AN⊥BC，

又∵BC∥AD，∴AN⊥AD，

∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD

∴AN⊥平面ADEF，

∵DM平面ADEF，

∴AN⊥DM；

（2）解：由（1）知，NA⊥平面ADEF，

∴∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角，

∵四邊形ADEF為矩形，AD=2AF=2，M是EF的中點，

∴AF=FM=1，

∴△AMF為等腰直角三角形，

∴AM= ，

∵△ABC為邊長為2的等邊三角形且N是BC的中點，

∴AN= ，

在Rt△NAM中，tan∠NMA= =

（3）解：∵四邊形ADEF為矩形，M是EF的中點，AB=2AF=2，

∴ME=DE=1，且DM=AM= ，

∴AD2=AM2+DM2，

∴∠AMD=90°，

∴S△AMD= =1．

由（1）NA⊥平面ADEF，

∴三棱錐D﹣MAN的體積=三棱錐N﹣MAD的體積= = ．

【解析】（1）連接AC，證明AN⊥AD，利用平面與平面垂直的性質證明AN⊥平面ADEF，即可證明AN⊥DM；（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，可得∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角，求出AN，AM，即可求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值；（3）利用三棱錐D﹣MAN的體積=三棱錐N﹣MAD的體積，即可求三棱錐D﹣MAN的體積．
【考點精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．