Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點，且直線恰好通過橢圓的右焦點，

（1）求橢圓的標準方程；

（2）經過的直線和橢圓交于兩點,交拋物線于兩點， 是拋物線的焦點，是否存在直線，使得,若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在直線： 或者滿足條件.

【解析】【試題分析】（1）先借助題設條件求出交點坐標,再代入橢圓方程與離心率聯立方程組求解；（2）先建立直線為，再與橢圓方程聯立方程組，借助題設條件求得，運用弦長公式求出弦長建立方程，進而求出直線的斜率：

解：（1）由知，可設，其中

由已知，代入橢圓中得： 即，解得

從而，故橢圓方程為

（2）易知，直線的斜率存在。設直線為， ， ， ， 。由條件知。，故。

由，

。存在直線： 或者滿足條件。