Question

【題目】已知橢圓的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線的斜率分別為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)變化時(shí)，①求的值；②試問(wèn)直線是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由題設(shè)知， ， ，又，解得，由此可得求橢圓的方程；（2）①，則有，化簡(jiǎn)得，對(duì)于直線，同理有，于是是方程的兩實(shí)根，故，即可證明結(jié)果；②考慮到時(shí)， 是橢圓的下頂點(diǎn)， 趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過(guò)定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上.

由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過(guò)定點(diǎn).

試題解析：（1）由題設(shè)知， ， ，又，

解得.

故所求橢圓的方程是.

（2）①，則有，化簡(jiǎn)得，

對(duì)于直線，同理有，

于是是方程的兩實(shí)根，故.

考慮到時(shí)， 是橢圓的下頂點(diǎn)， 趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過(guò)定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上.

由，得，于是有.

直線的斜率為，

直線的方程為，

令，得，

故直線過(guò)定點(diǎn).