Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導數f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得 ；令f'（x）＜0，解得 ．
從而f（x）在 單調遞減，在 單調遞增．
所以，當 時，f（x）取得最小值 ．
（Ⅱ）依題意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式 對于x∈[1，+∞）恒成立．
令 ，
則 ．
當x＞1時，
因為 ，
故g（x）是[1，+∞）上的增函數，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
從而a的取值范圍是（﹣∞，1]
【解析】（Ⅰ）先求出函數的定義域，然后求導數，根據導函數的正負判斷函數的單調性進而可求出最小值．（Ⅱ）將f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立轉化為不等式 對于x∈[1，+∞）恒成立，然后令 ，對函數g（x）進行求導，根據導函數的正負可判斷其單調性進而求出最小值，使得a小于等于這個最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．