Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，橢圓C和拋物線y2=x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）經過橢圓C右焦點的直線l和橢圓C交于A，B兩點，點P在橢圓上，且 =2 ，其中O為坐標原點，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓的離心率e= = ，a= c，

由b2=a2﹣c2，則b=c，

設a=2λ，b=c= λ，λ＞0，

橢圓C和拋物線y2=x交于M，N兩點，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點，

∴M（c， ），代入橢圓中得： + =1，即 + =1，解得：λ= ，∴a=2 ，b=c=2，

故橢圓方程為：

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），則 =（x1，y1）， =（x0﹣x2，y0﹣y2），

由 =2 ，

∴（x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2）

∴ ，

由于A，B，P均在橢圓x2+2y2=8上，

∴ ①， ②， ③；

由③可知： （ ）+（ ）+（x1x2+2y1y2）=8，

將第①②代入上式得：x1x2+2y1y2=﹣2，④

由直線l的斜率不為零，設直線l方為x=my+2，

，整理得：（m2+2）y2+4my﹣4=0，

由韋達定理y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

將④變形為：（my1+2）（my2+2）+2y1y2=﹣2，

即（m2+2）y1y2+2m（y1+y2）+6=0，

∴2﹣ =0，解得：m2= ，m=± ，

∵直線的斜率k= =± ，

故直線l的斜率為±

【解析】（1）由題意可知：e= 知，即a= c，則b=c，設a=2λ，b=c= λ，λ＞0，將M（c， ），代入，即可求得λ的值，求得橢圓C的標準方程；（2）由題意可知則 =（x1 ， y1）， =（x0﹣x2 ， y0﹣y2）， =2 ，即（x1 ， y1）=2（x0﹣x2 ， y0﹣y2），由于A，B，P均在橢圓x2+2y2=8上，則 ，整理可得：x1x2+2y1y2=﹣2，設直線l方為x=my+2，代入橢圓方程，由韋達定理可知代入可知：2﹣ =0，解得m的值，直線l的斜率為 ．